考研数学笔记 —— 积分应用公式(长度、面积、体积)
in 高数 with 8 comments, Views is 442

考研数学笔记 —— 积分应用公式(长度、面积、体积)

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警告!警告!底下丑字预警! :astonished:

要不是图形太复杂,无法用代码完成,哼哼(小声逼逼) :smirk:


一、长度公式

长度公式示意图

$$ \begin{cases} dl = \sqrt{\left( dx \right)^2 + \left( dy \right)^2} = \sqrt{1 + \left( y^\prime \right)^2} \, dx \\ \\ s = \int_a^b dl = \int_a^b \sqrt{1 + \left( y^\prime \right)^2} \, dx \end{cases} $$

$$ \begin{cases} dl = \sqrt{\left( r d\theta \right)^2 + \left( dr \right)^2} = \sqrt{r^2 + \left( r^\prime \right)^2} \, d\theta \\ \\ s = \int_{\alpha}^{\beta} \, dl = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left( r^\prime \right)^2} \, d\theta \end{cases} $$


二、面积公式

面积公式示意图

$$ \begin{cases} ds = 2 \pi \left| y \right| \sqrt{\left( dx \right)^2 + \left( dy \right)^2} = 2 \pi \left| y \right| \sqrt{1 + \left( y^\prime \right)^2} \, dx \\ \\ s = \int_a^b \, ds = \int_a^b 2 \pi \left| y \right| \sqrt{1 + \left( y\prime \right)^2} \, dx \end{cases} $$

$$ \begin{cases} ds = \pi r_2^2 * \dfrac{d\theta}{2 \pi} - \pi r_1^2 * \dfrac{d\theta}{2 \pi} = \dfrac{1}{2} \left( r_2^2 - r_1^2 \right) \, d\theta \\ \\ s = \int_{\alpha}^{\beta} \, ds = \int_{\alpha}^{\beta} \dfrac{1}{2} \left( r_2^2 - r_1^2 \right) \, d\theta \end{cases} $$

【注】


三、体积公式

体积公式示意图

$$ \left( 1 \right) \begin{cases} dV = \pi y^2 \, dx \\ \\ V = \int_a^b dV = \int_a^b \pi y^2 \, dx \end{cases} $$

$$ \left( 2 \right) \begin{cases} dV = 2 \pi \left| x \right| \left| y \right| \, dx \\ \\ V = \int_a^b dV = \int_a^b 2 \pi \left| x \right| \left| y \right| \, dx \end{cases} $$


四、其他公式

$$ \begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x^\prime = \dfrac{\iint_D x \, d \sigma}{\iint_D \, d \sigma} \\ \\ y^\prime = \dfrac{\iint_D y \, d \sigma}{\iint_D \, d \sigma} \end{cases} $$

( 其中 D 为椭圆弧的左右上下限与椭圆弧所围成的区域 )

Responses
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  1. 图画的好棒啊。。。回想起大一做高数习题的时候画的草图都是糊的
    这种记笔记的习惯很好啊~希望继续坚持!

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    1. @Gazzz

      感觉字忒丑,可是又练不会。只能用博客来做笔记了 :expressionless:

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      1. @OceanicKang

        好奇的问一句 博主是什么专业啊 CS吗~

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        1. @Gazzz

          友链已加,刚在图书馆看书,刚回家 icon_lol.png

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        2. @Gazzz

          反正我们班出去的基本没做本专业的工作。我个人比较喜欢软件,模电看不太懂,索性就放弃了硬件那一块,主攻软件了

          Reply
          1. @OceanicKang

            共勉~ 希望能考到你心怡的学校 友链已经加上 以后会常来 记得好好练字哈哈哈~ icon_mrgreen.png

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        3. @Gazzz

          应用电子专业。但是我自己在往CS方向发展 icon_eek.png

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          1. @OceanicKang

            握个爪 我也是EE类的~ 现在大环境确实是CS好找工作。以前都说会dxp画板就能有口饭吃,现在的情况是真的只能吃饱饭了。15k以上的工作除了做微电子的剩下基本都是CS了,也是挺悲催。

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