考研数学笔记 —— 伽玛函数

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积分形式

$$
\begin{cases}
\Gamma_{\left( x + 1 \right)} = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} \, dt \
\
\Gamma_{\left( x \right)} = \int_0^{+\infty} t^{x - 1} e^{-t} \, dt
\end{cases}
$$

【注】

$$
\Gamma_{\left( u + 1 \right)} = \int_0^{+\infty} x^{2u} e^{- x^2} \, d_{\left( x^2 \right)} = 2 \int_0^{+\infty} x^{2u + 1} e^{- x^2} \, dx
$$

递归公式

$$
\Gamma_{\left( x \right)} = x \Gamma_{\left( x - 1 \right)}
$$

$$
\Gamma_{\left( x \right)} = x!
$$

特殊值

$$
\Gamma_{\left( \frac{1}{2} \right)} = \sqrt{\pi}
$$

$$
\Gamma_{\left( \frac{3}{2} \right)} = \Gamma_{\left( \frac{1}{2} + 1 \right)} = \dfrac{1}{2} \Gamma_{\left( \frac{1}{2} \right)} = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}
$$

【注】在概率正态分布中经常要用到伽玛函数,应用形式基本是以上几种。

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