考研数学笔记 – 中值定理
     发布在:Math      浏览:58      评论:0 条评论

罗尔定理

  • f(x) 在 [a,b] 内连续,在 (a,b) 内可导

$$
f_{\left( a \right)} = f_{\left( b \right)}
\; => \;
f_{\left( \xi \right)} = 0
$$

拉格朗日中值定理

  • f(x) 在 [a,b] 内连续,在 (a,b) 内可导

$$
f_{\left( b \right)} - f_{\left( a \right)} = f_{\left( \xi \right)} \left( b - a \right)
$$

柯西中值定理

  • f(x) 在 [a,b] 内连续,在 (a,b) 内可导
  • g(x) 在 [a,b] 内连续,在 (a,b) 内可导
  • 分母不能为0

$$
\dfrac{f_{\left( b \right)} - f_{\left( a \right)}}{g_{\left( b \right)} - g_{\left( a \right)}} = \dfrac{f_{\left( \xi \right)}^\prime}{g_{\left( \xi \right)}^\prime}
$$

积分中值定理

  • f(x) 在 [a,b] 内连续
  • g(x) > 0

$$
\int_{a}^b f_{\left( x \right)} g_{\left( x \right)} \, dx = f_{\left( \xi \right)} \int_{a}^b g_{\left( x \right)} \, dx
$$

Responses