考研数学笔记 – 多元函数微分学关系图
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考研数学笔记 - 多元函数微分学关系图

【注】

  • 图解
    • 可正推,不可逆
    • 可推出
    • 连续可偏导 = 偏导数连续,叫法不同本质一样

$$
连续可偏导 \; => \; 可微 \; => \;
\begin{cases}
=> 连续 \
\
=> 可偏导
\end{cases}
$$

  • 连续无法推出可偏导(例子)

$$
z = f_{\left( x, y \right)} = \sqrt{x^2 + y^2}
$$

$$
f_x^\prime \left( 0, 0\right) = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{f_{\left( x, 0 \right)} - f_{\left( 0, 0 \right)}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\left| x \right|}{x} = \nexists
$$

$$
f_y^\prime \left( 0, 0\right) = \lim_{y \rightarrow 0} \dfrac{f_{\left( 0, y \right)} - f_{\left( 0, 0 \right)}}{x} = \lim_{y \rightarrow 0} \dfrac{\left| y \right|}{y} = \nexists
$$

  • 可偏导无法推出连续(例子)

$$
z = f_{\left( x, y \right)} =
\begin{cases}
\; \dfrac{xy}{x^2 + y^2} & , \; f_{\left( x, y\right)} \neq f_{\left( 0, 0 \right)} \
\
\; 0 & , \; f_{\left( x, y \right)} = f_{\left( 0, 0\right)}
\end{cases}
$$

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