考研数学笔记 – 积分应用公式(长度、面积、体积)
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一、长度公式

考研数学笔记 - 积分应用公式(长度、面积、体积)

  • Rt坐标系

$$
\begin{cases}
dl = \sqrt{\left( dx \right)^2 + \left( dy \right)^2} = \sqrt{1 + \left( y^\prime \right)^2} \, dx \
\
s = \int_a^b dl = \int_a^b \sqrt{1 + \left( y^\prime \right)^2} \, dx
\end{cases}
$$

  • 极坐标系

$$
\begin{cases}
dl = \sqrt{\left( r d\theta \right)^2 + \left( dr \right)^2} = \sqrt{r^2 + \left( r^\prime \right)^2} \, d\theta \
\
s = \int_{\alpha}^{\beta} \, dl = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left( r^\prime \right)^2} \, d\theta
\end{cases}
$$


二、面积公式

考研数学笔记 - 积分应用公式(长度、面积、体积)

  • Rt坐标系
    • 不旋转(略)
    • 绕y轴旋转
      • 少见,原理同绕x轴旋转一致,视具体情况自推
    • 绕x轴旋转

$$
\begin{cases}
ds = 2 \pi \left| y \right| \sqrt{\left( dx \right)^2 + \left( dy \right)^2} = 2 \pi \left| y \right| \sqrt{1 + \left( y^\prime \right)^2} \, dx \
\
s = \int_a^b \, ds = \int_a^b 2 \pi \left| y \right| \sqrt{1 + \left( y\prime \right)^2} \, dx
\end{cases}
$$

  • 极坐标系

$$
\begin{cases}
ds = \pi r_2^2 * \dfrac{d\theta}{2 \pi} - \pi r_1^2 * \dfrac{d\theta}{2 \pi} = \dfrac{1}{2} \left( r_2^2 - r_1^2 \right) \, d\theta \
\
s = \int_{\alpha}^{\beta} \, ds = \int_{\alpha}^{\beta} \dfrac{1}{2} \left( r_2^2 - r_1^2 \right) \, d\theta
\end{cases}
$$

【注】

  • 也许有人就会问,为什么绕x轴旋转的时候,宽不是dx而是√[1+(y')^2] dx.
  • 我个人的理解是,虽然这两者之间的差距微乎其微,但是在计算长度和面积的时候,这一点点的长度差是不能忽视的。
  • 在计算体积的时候就直接用dx了,相对体积来说,dx和√[1+(y')^2] dx的长度差可以忽略不计。
  • 总的来说,其实涉及到了精度的问题,我想广大研友应该是能理解的吧,哈哈

三、体积公式

考研数学笔记 - 积分应用公式(长度、面积、体积)

  • Rt坐标系
    • 绕x轴旋转 — 公式(1)
    • 绕y轴旋转 — 公式(2)

$$
\left( 1 \right)
\begin{cases}
dV = \pi y^2 \, dx \
\
V = \int_a^b dV = \int_a^b \pi y^2 \, dx
\end{cases}
$$

$$
\left( 2 \right)
\begin{cases}
dV = 2 \pi \left| x \right| \left| y \right| \, dx \
\
V = \int_a^b dV = \int_a^b 2 \pi \left| x \right| \left| y \right| \, dx
\end{cases}
$$


四、其他公式

  • Rt坐标和极坐标之间的转换

$$
\begin{cases}
x = r \cos \theta \
y = r \sin \theta
\end{cases}
$$

  • 椭圆弧的重心坐标公式
    • 均匀密度情况下,重心和形心重合

$$
\begin{cases}
x^\prime = \dfrac{\iint_D x \, d \sigma}{\iint_D \, d \sigma} \
\
y^\prime = \dfrac{\iint_D y \, d \sigma}{\iint_D \, d \sigma}
\end{cases}
$$

( 其中 D 为椭圆弧的左右上下限与椭圆弧所围成的区域 )

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