考研数学笔记 – 泰勒公式
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  • 泰勒公式
    $$ f_{\left( x \right)} = f_{\left( x_0 \right)} + f^\prime_{\left( x_0 \right)} \left( x - x_0 \right) + \dfrac{f^{\prime \prime}{\left( x_0 \right)}}{2!} \left( x - x_0 \right)^2 + \dots + \dfrac{f{\left( x_0 \right)}^{\left( n \right)}}{n!} \left( x - x_0 \right)^n + R_n \left( x \right) $$

  • 公式简写

    • 标准公式 — 主要用于计算级数
      $$ f_{\left( x \right)} = \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{f^{\left( n \right)}_{\left( x_0 \right)}}{n!} \left( x - x_0 \right)^n $$
    • 带余项的公式 — 主要用于证明题和计算n阶导数
      $$ f_{\left( x \right)} = \sum_{k = 0}^{n} \dfrac{f_{\left( x_0 \right)}^{\left( k \right)}}{k!} \left( x - x_0 \right)^k + R_n \left( x \right) $$
  • Rn(x)余项
    • 拉氏余项 — 主要用于证明题
      $$ R_n \left( x \right) = \dfrac{f^{\left( n + 1 \right)}_{\left( \xi \right)}}{\left( n + 1 \right)!} \left( x - x_0 \right)^{n + 1} $$
    • 佩氏余项 — 主要用于极限计算题
      $$ R_n \left( x \right) = \mathrm{o} \left[ \left( x - x_0 \right)^n \right] $$
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