考研数学笔记 —— 伽玛函数
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积分形式

$$ \begin{cases} \Gamma_{\left( x + 1 \right)} = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} \, dt \\ \\ \Gamma_{\left( x \right)} = \int_0^{+\infty} t^{x - 1} e^{-t} \, dt \end{cases} $$

【注】

$$ \Gamma_{\left( u + 1 \right)} = \int_0^{+\infty} x^{2u} e^{- x^2} \, d_{\left( x^2 \right)} = 2 \int_0^{+\infty} x^{2u + 1} e^{- x^2} \, dx $$

递归公式

$$ \Gamma_{\left( x \right)} = x \Gamma_{\left( x - 1 \right)} $$

$$ \Gamma_{\left( x \right)} = x! $$

特殊值

$$ \Gamma_{\left( \frac{1}{2} \right)} = \sqrt{\pi} $$

$$ \Gamma_{\left( \frac{3}{2} \right)} = \Gamma_{\left( \frac{1}{2} + 1 \right)} = \dfrac{1}{2} \Gamma_{\left( \frac{1}{2} \right)} = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} $$

【注】在概率正态分布中经常要用到伽玛函数,应用形式基本是以上几种。

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