考研数学笔记 —— 证明题常用的不等式
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柯西不等式

普通形式

$$ \left( a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 \right) \left( b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2 \right) \geqslant \left( a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \right)^2 $$

$$ \sum_{i = 1}^n a_i^2 \sum_{i = 1}^n b_i^2 \geqslant \left( \sum_{i = 1}^n a_i b_i \right)^2 $$

积分形式 — 施瓦茨不等式

$$ \int_{a}^b f_{\left( x \right)}^2 \, dx \int_{a}^b g_{\left( x \right)}^2 \, dx \geqslant \left( \int_{a}^b f_{\left( x \right)} g_{\left( x \right)} \, dx \right)^2 $$

杨不等式

普通形式

$$ \begin{cases} \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \\ \\ p > 0, \; q > 0 \end{cases} \; => \; a^{\frac{1}{p}} b^{\frac{1}{q}} \leqslant \dfrac{a}{p} + \dfrac{b}{q} $$

积分形式

$$ \begin{cases} a > 0, \; b > 0 \\ y = \varphi_{\left( x \right)} \\ x = \phi_{\left( y \right)} \\ y 在 \left[ 0, a \right] 上单调递增 \\ \varphi_{\left( 0 \right)} = 0 \end{cases} \; => \; \int_0^a \varphi_{\left( x \right)} \, dx + \int_0^b \phi_{\left( y \right)} \, dy \geqslant ab $$

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